◎歷三
▲大統曆法一下
日月五星平定三差
太陽盈縮平立定三差之原。
冬至前後盈初縮末限，八十八日九十一刻，就整。離為六段，每段各得一十
四日八十二刻。各段實測日躔度數，與平行相較，以為積差。
積日積差
第一段一十四日八二七千零五十八分零二五
第二段二十九日六四一萬二千九百七十六三九二
第三段四十四日四六一萬七千六百九十三七四六二
第四段五十九日二八二萬一千一百四十八七三二八
第五段七十四日一零二萬三千二百七十九九九七
第六段八十八日九二二萬四千零二十六一八四
各置其段積差，以其段積日除之，為各段日平差。置各段日平差，與後段日
平差相減，為一差。置一差，與後段一差相減，為二差。
日平差一差二差
第一段四百七十六分二五三十八分四五一分三八
第二段四百三十七分八零三十九分八三一分三八
第三段三百九十七分九七四十一分二一一分三八
第四段三百五十六分七六四十一分五九一分三八
第五段三百一十四分一七四十三分九七
第六段二百七十零分二零
置第一段日平差，四百七十六分二十五秒，為凡平積。以第二段二差一分三
十八秒，去減第一段一差十八分四十五秒，余三十七分零七秒，不凡平積差。另
置第一段二差一分三十八秒，折半得六十九秒，為凡立積差。以凡平積差三十七
分零七秒，加入凡平積四百七十六分二十五秒，共得五百一十三分三十二秒，為
定差。
以凡立積差六十九秒，去減凡平積差三十七分零七秒，余三十六分三十八秒
為實，以段日一十四日八十二刻為法除之，得二分四十六秒為平差。置凡立積差
六十九秒為實，以段日為法除二次，得三十一微，為立差。
夏至前後縮初盈末限，九十三日七十一刻，離為六段，每段各得
一十五日六十二刻。各段實測日躔度數，與平行相較，以為積差。
積日積差
第一段一十五日六二七千零五十八分九九零四
第二段三十一日二四一萬二千九百七十八六五八
第三段四十六日八六一萬七千六百九十六六七九
第四段六十二日四八二萬萬一千一百五十零七二九六
第五段七十八日一零二萬三千二百七十八四八六
第六段九十三日七二二萬四千零百一十七六二四四
推日平差、一差、二差術，與盈初縮末同。
日平差一差二差
第一段四百五十一分九二三十六分四七一分三三
第二段四百一十五分四五三十七分八零一分三三
第三段三百七十七分六五三十九分一二一分三三
第四段三百三十八分五二四十零分四六一分三三
第五段二百九十八分零六四十一分七九
第六段二百五十六分二七
置第一段日平差，四百五十一分九十二秒，為凡平積。以第一段二差一分三
十三秒，去減第一段一差三十六分四十七秒，余三十一分一十四秒，為凡平積差。
另置第一段二差一分三十三秒折半，得六十六秒五十微，為凡立積差。以凡平積
差三十五分一十四秒，加入凡平積四百五十一分九十二秒，共四百八十七分零六
秒，為定差。以凡『立積差六十六秒五十微，去減凡平差三十五分一十四秒，余
三十四分四十七秒五十微為實，以段日一十五日六二為法除之，得二分二十一秒，
為平差。置凡立積差六十六秒五十微為實，以段日為法，除二次，得二十七微，
為立差。
凡求盈縮，以入歷初末日乘立差，得數以加平差，再以初末日乘之，得數以
減定差，餘數以初末日乘之，為盈縮積。
凡盈歷以八十日九零九二二五為限，縮歷以九十三日七一二零二五為限。在
其限已下為初，以上轉減半歲周餘不末。盈初是人冬至後順推，縮末是從冬至前
逆溯，其距冬至同，故其盈積同。縮初是從夏至後順推，盈末是從夏至前逆溯，
其距夏至同，故其縮積同。
▲盈縮招差圖說
盈縮招生，本為一象限之法。今止作九限者，舉此為例也。其空格九行定差
本數，為實也。其斜綿以上平差立差之數，為法也。斜綿以下空格之定差，乃余
實也。假如定差為一萬，平差為一百，立差為單一。今求九限法，以九限乘定差
得九萬為實。另置平差，以九限乘二次，得八千一百。置立差，以九限乘三次，
得七百二十九。並兩數得八百二十九為法。以法減實，余八萬一千一百七十一，
為九限積。又法，以九限乘平差行九百，又以九限乘立差二次得八十一，並兩數
得九進八十一為法，定差一萬為實，以法減實，余矣千零一十九，即九限末位所
書之定差也。於是瑞以九限乘余實，得八萬一千一百七十一，為九限積，與前所
不所得不同。蓋前法是先乘後減，又法是先減後乘，其理一也。
按《授時歷》於七政盈縮，並以垛積招差立算，其污七巧合天行，與西人用
小輪推步之法，殊途同歸。然世所傳《九章》諸書，不載其術，《歷草》載其術，
而不言其故。宣城梅文鼎為之圖解，於平差、立差之理，垛積之法，皆有以發明
其所以然。有專書行於世，不能備錄，謹錄《招生圖說》，以明立法之大意雲。
盈初縮末置立差三十一微，以六因之，得一秒八十六微，為加分立差。置
平差二分四十六秒，倍之，得四分九十二秒，加入加分立差，得四分九十二秒八
十六微，為平立合差。
置定差五百一十三分三十二秒，內減平差二分四十六秒，再減立差三十一微，
余五百一十零分八十五秒六十九微，為加分。
縮初盈末置立差二十七微，以六因之，得一秒六十二微，為加分立差。置
平差二分二十一秒，倍之，得四分四十二秒，加入加分立差，得四分四十三秒六
十二微，為平立合差。
置定差四百八十七分零六秒，內減平差二分二十一秒，再減立差二十七微，
余四百八十四分八十四秒七十三微，為加分。
已上所推，皆初日之數。其推次日，皆以加分立差，累加平立合差，為次日
平立合差。以平立合差減其日加分，為次日加分，盈縮並同。其加分累積之，即
盈縮積，其數並見立成。
▲太陰遲疾平立三差之原
太陰轉週二十七日五十五刻四六。測分四象，像各七段，四象二十八段，每
段十二限，每象八十四限，凡三百三十六限，而四象一周。以四象為法，除轉周
日，得每象六日八八八六五，分為七段，每段下實測月行遲疾之數，與平行相較，
以求積差。
積限積差
第一段一十二一度二十八分七一二
第二段二十四二度四十五分九六一六
第三段三十六三度四十八分三七九二
第四段四十八四度三十二分五九五二
第五段六十四度九十五分二四
第六段七十二五度三十二分九四四
第七段八十四五度四十二分三三七六
各置其段積差，以其段積限為法除之，為各段限平差。置各段限平差，與後
段相減為一差。置一差，與後段一差相減為二差。
限平差一差二差
第一段一十零分七二六零四十七秒七六九秒三六
第二段一十零分二四八四五十七秒一二九秒本六
第三段九分六七七二六十六秒四**秒三六
第四段九分零一二四七十五秒八四九秒三六
第五段八分二五四零八十五秒二零九秒三六
第六段七分四零二零九十四秒五六
第七段六分四五六四
置第一段限平差一十零分七二六為凡平積。置第一段一差四十七秒七六，以
第一段二差九秒三六減之，余三十八秒四十微，為凡平積差。另置第一段二差九
秒三十六微折半，得四秒六十八微，為凡立積差。以凡平積差三十八秒四十微，
加凡平積一十零分七二六，得一十一分一十一秒，為定差。置凡平積差三十八秒
四十微，以凡立積差四秒六十八微減之，余三十三秒七十二微為實，以十二限為
法除之，得二秒八十一微，為平差。置凡立積差四秒六十八微為實，十二限為法，
除二次，得三微二十五纖，為立差。
凡求遲疾，皆以入歷日乘十二限二十分，以在八十四限已下為初，已上轉減
一百六十八限余為末。各以初末限乘立差，得數以加平差，再以初末限乘之，得
數以減定差，余以初末限乘之，為遲疾積。其初限是從最遲最疾處順推至後，末
限是從最遲最疾處逆溯至前，其距其距最遲疾處同，故其積度同。
布立成法置立差三微二十五纖，以六因之，得一十九微五十纖，為損益立
差。置平差二秒八十一微，倍之，得五秒六十二微，再加損益立差一十九微五十
纖，共得五秒八十一微，為初限平立合差。自此以損益立差，累加之，即每限平
立合差。至八十限下，積至二十一秒四一五，為平立合差之極。八十一限下差一
秒七八零九，八十二限下一秒七八零八，至八十三限下，平立合差，與益分中分，
為益分之終。八十四限下差，亦與損分中分，為損分之始。至八十六限下差，亦
二十一秒四一五，自此以損益立差累減之，即每限平立合差，至末限與初限同。
置定差一十一分一十一秒，內減平差二秒八十一微，再減立差三微二十五纖，余
一十一分零八秒一十五微七十五纖為加分定差，即初限損益分。置損益分，以其
限平立合差益減損加之。即為次限損益分。以益分積之，損分減之，便為其下遲
疾度。以八百二十分為一限日率，累加八百二十分為每限日率。
五星平立定三差之原凡五星各以實測，分其行度為八段，以求積差，略如
日月法。
木星
積日積差
第一段一十一日五十刻一度二一五二九七一一二
第二段二十三日二度三四零五二一四
第三段三十四日五十刻三度三五四一三七二六五
第四段四十六日四度二三四六零九一二
第五段五十七日五十刻四度九六零四零一三七五
第六段六十九日五度五零九九七八四四
第七段八十零日五十刻五度八六一八零四七二五
第八段九十二日五度九九四三四四六四
凡平差凡平較凡立較
第一段一十分五六七八零一三十九秒一六二一六秒二四二二
第二段一十分一七六一八四十五秒四零四三六秒二四二二
第三段九分七二二一三七五十一秒六四六五六秒二四二二
第四段九分二零五六七二五十七秒八八八七六秒二四二二
第五段八分六二六七八五六十四秒一三零九六秒二四二二
第六段七分九八五四七六七十零秒三七二一六秒二四二二
第七段七分二八一七四五七十六秒六一五三
第八段六分五一五五九二
各置其段所測積差度為實，以段日為法除之，為凡平差。各以凡平差與次段
凡平差相較，為凡平較。又以凡平較與次段凡平較相較，為凡立較。置第一段凡
平較三十九秒一六二一，減其下凡立較六秒二四二二，余三十二秒九一九九，為
初段平立較。加初段凡平差一十分五六七八零一，共得一十零分八十九秒七十零
微，為定差。秒置萬位。置初段平立較差三十二秒九一九九，內減凡立較之半，
三秒一二一一，余二十九秒七九八八，以段日一十一日五十刻除之，得二秒五十
九微一十二纖為平差。置凡立差之半，三秒一二一一，以段日為法除二次，得二
微三十六纖為立差。
已上為木星平立定三差之原。
火星盈初縮末。
積日
第一段七日六十二刻五十分
第二段一十五日二十五刻
第三段二十二日八十七刻五十分
第四段三十零日五十零刻
第五段三十八日一十二刻五十分
第六段四十五日七十五刻
第七段五十三日三十七刻五十分
第八段六十一日
積差
第一段六度二六八二五一二二八一八五五九三七五
第二段一十一度六零零一七五七四三五九三七五
第三段一十六度零二五九六三七九二五一九五三一二五
第四段一十九度六六九零一三六二一二五
第五段二十二度二七九**一四七六零七四二一八七五
第六段二十四度一六八二二八六零三二八一二五
第七段二十五度三三一五五六二四九二六零一五六二五
第八段二十五度六一九五一五六六
凡平差
第一段八十二分零六五七三四八四三七五
第二段七十六分零六六七二六一六七五
第三段七十零分零五八八五八一零九三七五
第四段六十四分一八二九六九二五
第五段五十八分四三九零五九六零九三七五
第六段五十二分八二七一二九一八七五
第七段四十七分三四七一七七九八四三七五
第八段四十一分九九九二零六
凡平較
第一段六分一三九八四七二九六八七五
第二段六分零零七八六八零七八一二五
第三段五分八七五八八八八五九三七五
第四段五分七四三九零九六四零六二五
第五段五分六一一九三零四二一八七五
第六段五分四七九九五一二零三一二五
第七段五分三四七九七一九八四三七五
凡立較
第一段一十三秒一九七九二一八七五
第二段一十三秒一九七九二一八七五
第三段一十三秒一九七九二一八七五
第四段一十三秒一九七九二一八七五
第五段一十三秒一九七九二一八七五
第六段一十三秒一九七九二一八七五
凡平較前多後少，應加凡立較。置初段下凡平較六分一三九八四七二九六八
七五，加凡立較一十三秒一九七九二一八七五，得六分二七一八二六五一五六二
五，為初日下平立較。置初段凡平差八十二分二十零秒六五七三四八四三七五，
加初日下平立較六分二七一八二六五一五六二五，得八十八分四十七秒八十四微，
為定差。置初日下平立較六分二七一八二六五一五六二五，加凡立較之半，六秒
五九**六零九三七五，得分三三七八一六一二五為實，以段日而一，得八十三
秒一十一微八十九纖為平差。置凡立較之半，六秒五九**六零九三七五，以段
日七日六十二刻五十分為法除二次，得一十一微三十五纖為立差。
火星縮初盈末
積日
第一段一十五日二十五刻
第二段三十零日五十刻
第三段四十五日七十五刻
第四段六十一日
第五段七十六日二十五刻
第六段九十一日五十刻
第七段一百零六日七十五刻
第八段一百二十二日
積差
第一段四度五三一二五一八五七九六八七五
第二段九度一零二九六一四五一二五
第三段一十三度五三一六七零九零一七七三七五
第四段一十七度四七**七九零四
第五段二十零度八四三六六三零六六四零六二五
第六段二十三度四三一三三六二四一二五
第七段二十五度零九二四三五二八三四六八七五
第八段二十五度六一八三七四七二
凡平差
第一段二十九分七一三一二六九三七五
第二段二十九分八四五七七五二五
第三段二十九分五七八三五五零六二五
第四段二十八分六五四零六四
第五段二十七分三三三九五一五六二五
第六段二十五分六一八零一七七五
第七段二十三分五零六二六二五六二五
第八段二十零分九九八六八六
凡平較凡立較
第一段一十三秒二六四八三一二五一十三秒五七六九七七五
第二段二十六秒八四一八零八七五六十五秒五八七二九七五
第三段九十二秒四二九一零六二五三十九秒五八二一三七五
第四段一分三二零一一二四三七五三十九秒五八二一三七五
第五段一分七一五九三三八一二五三十九秒五八二一三七五
第六段二分一一一七五五一八七五三十九秒五八二一三七五
第七段二分五零七五七六二五
取凡立較停者，三十九秒五八二一三七五，以較一段下凡平較一十三秒二六
四八三一二五，余二十六秒三一七三零六二五為較較，以加一段下凡平差二十九
分七一三一二六九三七五，得二十九分九十七秒六十三微，為定差。置較較二十
六秒三一七三零六二五，以段日一十五日二十五刻而一，得一秒七二五七二五。
再置凡立較之半一十九秒七九一零六八七五，以段日而一，得一秒二九七七七五。
兩數並得三秒零二微三十五纖為平差。置凡立較之半一十九秒七九一零六八七五，
以段日一十五日二五為法除二次，得八微五十一纖，為立差。
已上為火星平立定三差之原。
▲土星盈歷
積日積差
第一段一十一日五十刻一度六八三二四五八二八七五
第二段二十三日三度二三二一六四零一
第三段三十四日五十刻四度六二零九三零零八六二五
第四段四十六日五度八二三七一九六
第五段五十七日五十刻六度八一四七零八六六八七五
第六段六十九日七度五六八零七一一一
第七段八十零日五十刻八度零五七九八四一九一二五
第八段九十二日八度二五八六二二八八
凡平差凡平較凡立較
第一段一十四分六三六九二零二五五十八秒四零三三二五七秒四八五三五
第二段一十四分零五二八八七六十五秒八八八六七五七秒四八五三五
第三段一十三分三九四零零零二五七十三秒三七四零二五七秒四八五三五
第四段一十二分六六零二六八十零秒八五九三七五七秒四八五三五
第五段一十一分八五一六六六二五八十八秒三四四七二五七秒四八五三五
第六段一十一分九六八二一九九十五秒八三零零七五七秒四八五三五
第七段一十零分零零九九一八二五一分零三秒三一五四二五
第八段八分九七六七六四
置第一段下凡平較，內減其下凡立較，余五十零秒九一七九七五，為平立較。
以平立較，加本段凡平差，得一十五分一十四秒六十一微，為定差。置平立較，
內減凡立較之半，三秒七四二六七五，余四十七秒一七五三，以段日十一日五十
刻而一，得四秒一十零微二十二纖，為平差。置凡立較之半，以段日除二次，得
二微八十三纖，為立差。
▲土星縮歷
積日積差
第一段一十一日五十刻一度二四一九七四二六八七五
第二段二十三日二度四一三七三五六九
第三段三十四日五十刻三度四八五零七九六八六二五
第四段四十六日四度四二五八零一六八
第五段五十七日五十刻五度二零五六九七零九三七五
第六段六十九日五度七九四五六一三五
第七段八十零日五十刻六度一六二四一一零零四七五
第八段九十二日六度二七八三七八零八
凡平差凡平較凡立較
第一段一十分七九九七七六二五三十零秒五二七三二五八秒七五四九五
第二段一十分四九四五零三三十九秒二八二二七五八秒七五四九五
第三段一十分一零一六八零二五四十八秒零三七二二五八秒七五四九五
第四段九分六二一三零八五十六秒七九二一七五八秒七五四九五
第五段九分零五三三八六二五六十五秒五四七一二五八秒七五四九五
第六段八分三九七九一五七十四秒三零三零七五八秒七五四九五
第七段七分六五四**四二五八十三秒零五七零七五
第八段六分八二四三二四
置一段凡平較，內減其下凡立較，余二十一秒七七二三七五，為平立較。以
平立較加入本段凡平差，得一十一分零一秒七十五微，為定差。置平立較，內減
凡立較之半，四秒三七七四七五，余一十七秒三九四九，以段日一十一日五十刻
為法除之，得一秒五十一微二十六纖，為平差。置凡立較之半，以段日為法除二
次，得三微三十一纖為立差。
已上為土星平定三差之原。
金星
積日積差
第一段一十一日五十刻空度四零二一三四零九八七五
第二段二十三日空度七九一三九三六六
第三段三十四日五十刻一度一五四九一二零八一二五
第四段四十六日一度七四九八二二七六
第五段五十七日五十刻一度七五三二五九零九三七五
第六段六十九日一度九六二三五四四八
第七段八十零日五十刻二度零九四二四二三一六二五
第八段九十二日二度一三六零五六
凡平差凡平較凡立較
第一段三分四九六八一八二五五秒五九七六二五三秒七二九四五
第二段三分四四零八四二零零九秒三二七零七五三秒七二九四五
第三段三分三四七五七一二五一十三秒零六五五二五三秒七二九四五
第四段三分二一七零零六一十六秒七八五九七五三秒七二九四五
第五段三分零四九一四六二五二十零秒五一五四二五三秒七二九四五
第六段二分八四三九九二二十四秒二四四八七五三秒七二九四五
第七段二分六零一五四三二五二十七秒九七四三二五
第八段二分三二一八
置一段下凡平較，與其凡立較相減，余一秒八六一七五為平立較，以加凡平
差，得三分五十一秒五十五微，為定差。置平立較，與凡立較之半，一秒八六四
七二五相減，余三十四纖，以段日一十一日五十刻為法除之，得三纖，為平差。
置凡立較之半，以段日為為法除二次，得一微四十一纖，為立差。
已上為金星平立定三差之原。
▲水星
積日積差
第一段一十一日五十刻空度四四零八四七三五三七五
第二段二十三日空度八六三一零一六八
第三段三十四日五十刻一度二五三**六三七六二五
第四段四十六日一度六零零三六四八四
第五段五十七日五十刻一度八**六三一零四三七五
第六段六十九日二度一零八八六六六
第七段八十零日五十刻二度二四五二九二一一三七五
第八段九十二日二度二八五六四四三二
凡平差凡平較凡立較
第一段三分八三三四五五二五八秒零八三九二五三秒七二九四五
第二段三分七五二六一六一十一秒八一三三七五三秒七二九四五
第三段三分六三四四八二二五一十五秒五四二八二五三秒七二九四五
第四段三分四七九零五四一十九秒二七二二七五三秒七二九四五
第五段三分二八六三三一二五二十三秒零零一七二五三秒七二九四五
第六段三分零五六三一四二十六秒七三二一七五三秒七二九四五
第七段二分七**零零二二五三十零秒四六零六二五
第八段二分四八四三九六
術同金星，求得定差三分八十七秒九十微，平差二十一微六十五纖，立差一
微四十一纖。
已上為水星平立定三差之原。
在五星，皆以立差為秒，平差為本，定差為總。五星各以段次因秒，木土金
水四星並本，惟火星較本，各以積日而積，五星皆較總，又各以積日乘之，得各
實測之度分。
五星積日，皆本度率，除週日得三百六十五度二十五分太。各以四分之一為
象限，惟火星用象限三之一，減象限為盈初縮末限，加象限為縮初盈末限。其命
度為日者，為各取盈縮歷乘除之便，其實積日之數，即積度也。
▲裡差刻漏
求二至差股及出入差。術曰：置所測北極出地四十度九十五分為半弧背，以
前割圓弧矢法，推得出地半弧弦三十九度二十六分，為大三斜中股。置測到二至
黃赤道內外度二十三度九十分為半弧背，以前法推得內外半弧弦二十三度七十一
分。又為黃赤道大句，又為小三斜弦。置內外半弧弦自之為句冪，半逕自之為弦
冪，二冪相減，開方得股，以股轉減半徑，余四度八十一分為二至出入矢，即黃
赤道內外矢。夏至日，南至地平七十四度二十六分半為半弧背，求得日下至地半
弧弦五十八度四十五分。半徑六十零度八十七分半，為大三斜中弦。置大三斜中
股三十九度二十六分，以二至內外半弧弦二十三度七十一分乘之為實，以半徑六
十零度八十七分半為法除之，得一十五度二十九分，為小三斜中股又為小股。置
小三斜中股一十五度二十九分，去減日下至地半弧弦五十八度中十一分，余四十
三度一十六分，為大股。以出入矢四度八十一分，去減半徑六十零度八十七分半，
余五十六度零六分半，為大股弦。置大股弦，以小股一十五度二九乘之為實，大
股四十三度一六為法除之，得一十九度八十七分為小弦，即為二至出入差半弧弦。
置二至出入差半弧弦，依法求到二至出入差半弧背一十九度九十六分一十四秒。
置二至出入差半弧背一十九度九十六一四秒，置二至出入半弧背一十九度九六一
四，以二至黃赤道內外半弧弦二十三度七十一分除之，得八十四分一十九秒，為
度差分。
求黃道每度書夜刻。術曰：置所求每度黃赤道內外半弧弦，以二至出入差
半弧背乘之為實，二至黃赤道內外半弧弦為法除之，為每度出入差半弧背。餘數倍之，又三因之，
得數加一度，為日行百刻度。置每度出入半弧背，以百刻乘之為實，日行
百刻為法除之，得數為出入差刻。置二十五刻，以出入差刻視黃道，在赤道內加
之，在赤道外減之，得數為半晝刻，倍之為晝刻，以減百刻，為夜刻。
如求冬至後四度晝刻。術曰：置冬至後四十四度黃赤道內外半弧一十七度二
十五分六十九秒，以二至出入差半弧背
一十九度九十六分一十四秒乘之為實，以二至黃赤道內外半弧弦二十三度七十一
分為法除之，得一十四度五十二分八十五秒，為出入半弧背。置半徑六十零度八七五，以四十四度黃赤道內外矢二度五
十一分八十一秒減之，余五十八度三十五
分六十九秒，倍之，得一百一十六度七十一分三十八秒，三因
之，加一度，得三百五十一度一十四分一十四秒，為日行百刻度。置出入半弧
背一十四度五十二分八十五秒，以百刻乘之為實，以日行百刻度三百五十一度一
十四分一十四秒為法除之，得四刻一十三分七十五秒，為出入差刻。置二十五刻，
以出入差刻四刻一十三分七十五秒減之，余二十零刻八十六分二十五秒，為半晝刻。倍之得四十一刻七十二分半，
為晝刻。以晝刻減百刻，余五十八刻二十七分半，為夜刻。
右《歷草》所載晝夜刻分，乃大都即燕京晷漏也。夏晝、冬夜極長，六十一
刻八十四分，冬晝、夏夜極短，三十八刻一十六分。明既遷都於燕，不知遵用。
惟正統己巳奏准頒歷用六十一刻，而群然非之。景泰初仍復用南京晷刻，終明之
世未能改正也。